사이클링 히트(Hit for the cycle)와 노히터(No hitter) 달성 가능성은?

오늘(7/22) 추신수가 사이클링 히트(hit for the cycle)를 기록했다. 투수의 노히터(no hitter) 만큼이나 달성하기 어려운 기록으로 알려져 있는데, 실제로 사이클링 히트와 노히터 중에서 확률적으로 더 발생하기 어려운 기록은 무엇일까?

먼저 투수의 노히터 발생 확률을 확인해보자. 투수는 매타석 타자에게 피안타를 허용하지 않아야 하는데, 이것이 27번 연속적으로 발생해야 한다. 수식으로 정리하면 다음과 같다.

  • No Hitter% = ( 1 – BA ) ^ 27

위의 식을 이용하여 리그 평균적인 투수의 노히터 달성 확률을 계산해보자. 2015년 기준으로, 투수의 평균 피안타율(BA)은 .250이다. 따라서 한 경기에서 노히터 확률을 계산하면 ( 1 – .250 ) ^ 27 = .000423. 즉, 0.04%이다. 투수가 한 시즌에 32경기를 소화한다고 가정하면 .000423 x 32 = .0135. 즉, 평균적인 투수는 한 시즌에 0.0135번의 노히터 경기를 달성할 것으로 예상할 수 있다. 메이저리그 전체 30팀에 각 5명씩의 선발투수가 있다고 가정하면 .0135 x 30 x 5 = 2.03. 따라서 노히터는 1년에 약 2회 정도 발생할 수 있는 기록이다.

한편, 이번에는 사이클링 히트의 발생 확률을 계산해보자. 한 경기에서 1루타, 2루타, 3루타, 홈런을 모두 기록해야 하며, 이들의 발생 순서에는 관계가 없다. 따라서 각 이벤트의 발생 확률을 모두 곱하고, 이들의 순열(permutation)을 곱해주면 된다.

  • Hit for the cycle% = P ( n , r ) x ( 1B% x 2B% x 3B% x HR% )

P ( n , r ) 은 permutation 함수를 나타내는데, n개에서 r개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수를 의미한다. P ( n , r ) = n! / ( n – r )! 로 계산 가능하다. 여기서 n은 타자가 한 경기에서 맞이하는 타석의 수(4~6)를, r은 1루타/2루타/3루타/홈런을 기록해야 하는 타석의 수, 즉 4를 의미한다.

예를 들어, 한 경기에서 5타석을 맞이하는 평균적인 타자의 사이클링 히트 달성 확률을 계산해보자. 2015년 기준으로 타석당 1루타, 2루타, 3루타, 홈런의 비율은 각각 15.4%, 4.39%, 0.487%, 2.53%이다. 여기에 이들이 조합되는 경우의 수는 P ( 5 , 4 ) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120이므로, 이 값을 곱하면 약 .0001이 된다. 즉, 한 경기에서 평균적인 타자가 사이클링 히트를 달성할 확률은 겨우 0.01%인 것이다. 이 선수가 한 시즌 150경기를 소화한다고 가정하면 .015이며, 리그 30개 팀에 각 8명씩의 타자가 있다고 하면, .015 x 30 x 8 = 3.6. 즉, 사이클링 히트는 1년에 약 3~4회 정도 발생할 수 있는 기록이다.

계산 결과, 평균적인 타자가 한 경기에서 사이클링 히트를 달성하는 확률은 약 0.01%로, 약 0.04%의 노히터보다 더 달성하기가 어렵다. 다만, 리그 전체적으로 본다면 연간 예상되는 발생 횟수는 약 2~4회로 서로 유사하다.

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