이닝당 득점 발생 가능성을 계산하는 간단한 방법

잭 그레인키는 2015년 45.2이닝 연속 무실점을 기록했다. 무려 6경기 연속 무실점을 한 셈인데, 이는 확률적으로 얼마나 어려운 것일까? 이닝당 무실점 확률을 계산하여, 이것의 연속 발생 가능성을 계산하면 될 것이다. 그렇다면 어떻게 계산할 수 있을까?

가장 간단한 방법은 득점 발생 확률 분포를 푸아송 분포로 가정하는 것이다. 푸아송 분포이항 분포의 특수한 형태로, 발생 기회가 많고 반면에 그 확률은 낮은 경우에 이항 분포는 푸아송 분포를 따른다. 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수 기댓값(X)에 대해서, 그 사건이 n회 일어날 확률(p)을 구할 때 쓰인다. 계산식은 다음과 같다.

  • p (n) = X^n x exp( -X ) / n!

위의 식을 이용하면, 득점(n) 발생에 대한 확률(p)은 다음과 같이 계산된다.

  • p(n=0) = exp( -X )
  • p(n=1) = X x exp( -X )
  • p(n=2) = X^2 x exp( -X ) / 2
  • p(n=3) = X^3 x exp( -X ) / 6

그럼 이를 바탕으로 잭 그레인키의 45이닝 연속 무실점 확률을 계산해보자. 편의상 9이닝당 득점을 4.5점이라 하자. 그럼 이닝당 득점은 0.5점이 된다. 따라서 위의 식 X에 0.5를 대입하면 p(n=0)=.607이 된다. 즉 득점이 발생하지 않을 확률은 60.7%인 셈이다. 따라서 이 사건이 45번 연속해서 일어날 확률은? .607^45가 된다.

그런데 이 방법은 정확할까? 그렇지 않다. 푸아송 분포는 애초에 매우 많은 시도수와 그것들의 완벽한 독립성이라는 비현실성을 가정하고 있기 때문이다. 따라서 음이항 분포로 가정하는 것이 좀 더 정확하다. 하지만 간단한 머릿 속 계산만으로 이닝당 득점 발생 확률을 계산하고자 한다면 이번에 소개한 푸아송 분포를 활용하는 것도 좋은 방법이겠다.

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