이전 WAR로 다음 해 WAR를 예측할 수 있을까?

타자의 이전 시즌 WAR를 활용하면, 다음 시즌 WAR를 얼마나 잘 예측할 수 있을까? 그리고 실제로 어느 정도까지 믿을 수 있을까?

보통 플레이어 랭킹을 만들 때는 최근 성적일수록 더 중요하게 보고, 과거로 갈수록 가중치를 낮추는 방식이 사용된다. 예를 들어 이전 3년 성적에 대해 6:3:1의 가중치를 주는 방식이 흔히 사용된다. 그런데 이 6:3:1이라는 숫자가 어디서 나온 것인지, 정말 합리적인지는 잘 설명되지 않는다. 데이터를 통해 직접 확인해보자.

데이터와 방법

1920년부터 2018년까지, 최소 2년에서 최대 6년 연속으로 10타석 이상 들어선 선수들의 데이터를 사용했다. 이전 시즌들의 WAR를 설명 변수로 삼아 다음 시즌 WAR를 예측하는 다변량 선형회귀를 수행하고, 몇 년치를 관측하느냐에 따라 예측력이 어떻게 달라지는지를 확인했다. 여기서 예측력은 R²로 측정한다. R²는 다음 시즌 WAR의 변동 가운데 과거 성적으로 설명되는 비율을 뜻하며, 1에 가까울수록 잘 설명한다는 의미다.

예측 성능 (R²)

이전 몇 년의 데이터를 사용하는지에 따라 예측 성능은 다음과 같이 나타난다.

사용 연도 수	R²
1년	.554
2년	.617
3년	.646
4년	.663
5년	.674

과거 데이터를 많이 사용할수록 예측력은 좋아진다. 다만 증가 폭은 갈수록 줄어든다. 1년에서 2년으로 늘릴 때는 .554에서 .617로 크게 오르지만, 4년에서 5년으로 늘릴 때는 .663에서 .674로 거의 움직이지 않는다. 다시 말해 가장 중요한 정보는 최근 1~2년에 몰려 있고, 그보다 오래된 시즌은 덧붙여봐야 얻는 것이 적다. 실제로 이전 3년만 사용해도 R²는 .646에 이르므로, 실무적으로는 3년이면 충분하다고 볼 수 있다.

다만 R²가 높다고 해서 개별 선수의 성적을 정확히 맞힐 수 있다는 뜻은 아니다. 이때 RMSE는 약 1.33으로, 예측값과 실제값이 평균적으로 1.33승 정도 어긋난다는 의미다. 5 WAR급 선수를 예측했는데 실제로는 3.7이나 6.3이 나오는 일이 흔하다는 것이다. WAR는 방향성을 잡는 데는 쓸 만하지만, 정밀한 예측 도구로 보기는 어렵다.

연도별 가중치

이전 3년 데이터를 사용할 때, 회귀 분석을 통해 얻은 가중치는 다음과 같다.

연도	가중치
t-3	.114
t-2	.230
t-1	.478

최근 성적일수록 훨씬 큰 영향을 미친다는 점이 명확하게 드러난다. 직전 시즌의 가중치는 2년 전의 두 배, 3년 전의 네 배가 넘는다. 그런데 여기서 흥미로운 점이 하나 더 있다. 세 가중치의 합이 1이 아니라 0.822라는 것이다. 이는 다음 시즌 성적이 이전 3년 성적의 약 82% 수준으로 낮아지는 경향이 있음을 의미한다.

이 현상은 평균 회귀(regression to the mean)로 설명할 수 있다. 연속적으로 좋은 성적을 낸 선수일수록 그 성적에 운이 섞여 있을 가능성이 크고, 다음 시즌에는 그 몫이 평균 쪽으로 되돌아오기 때문이다. 반대로 부진했던 선수는 다음 해에 반등하는 경향이 있다. 즉 0.822라는 숫자는 모델이 데이터로부터 찾아낸 평균 회귀의 크기인 셈이다.

가중치 정규화

평균 회귀 효과를 걷어내고 순수하게 각 연도의 상대적 중요도만 보려면, 가중치의 합을 1로 맞춰주면 된다.

연도	가중치
t-3	.138
t-2	.280
t-1	.582

이 값을 간단한 정수 비율로 바꾸면 대략 1 : 3 : 6이 된다. 흔히 쓰이는 6:3:1 가중치가 실제 데이터와 상당히 잘 맞아떨어진다는 뜻이다. 관행적으로 써오던 숫자가 회귀 분석 결과와 거의 일치한다는 점이 흥미롭다. 따라서 최근 3년 WAR를 다음과 같이 가중평균하면, 선수의 현재 실력을 요약하는 값을 얻을 수 있다.

wWAR = (6 × WAR(t−1) + 3 × WAR(t−2) + WAR(t−3)) / 10

예시: wWAR 랭킹

이 방식으로 2016~2018년 WAR에 6:3:1 가중치를 적용한 wWAR 상위 선수들은 다음과 같다.

Rank	Player	wWAR
1	Mike Trout	8.91
2	Mookie Betts	8.65
3	Jose Ramirez	7.24
4	Francisco Lindor	6.84
5	Christian Yelich	6.48
6	Anthony Rendon	6.22
7	Jose Altuve	5.90
8	Alex Bregman	5.71
9	Nolan Arenado	5.61
10	Aaron Judge	5.44
11	Manny Machado	5.13
12	Paul Goldschmidt	5.12
13	Andrelton Simmons	5.09
14	Freddie Freeman	5.06
15	Giancarlo Stanton	4.93
16	Lorenzo Cain	4.93
17	J.D. Martinez	4.90
18	Justin Turner	4.64
19	Joey Votto	4.57
20	J.T. Realmuto	4.39

단일 시즌 WAR 순위와 비교하면 순위 변동이 크지 않다는 점을 알 수 있다. 3년치를 섞어 계산하기 때문에 한 시즌의 이례적인 성적이 순위를 크게 흔들지 못하기 때문이다. 이것이 가중평균을 쓰는 이유이기도 하다. 한 해의 운을 걸러내고 실력에 가까운 값을 얻으려는 것이다.

정리

이전 WAR를 활용하면 다음 시즌 WAR를 어느 정도 예측할 수 있으며, 그중에서도 최근 2~3년 성적이 대부분의 정보를 담고 있다. 실무적으로는 최근 3년 WAR에 6:3:1 가중치를 주면 선수의 현재 실력을 가장 잘 요약할 수 있다. 이 관행적인 비율이 회귀 분석 결과와 거의 일치한다는 점도 확인했다.

다만 두 가지는 기억해둘 필요가 있다. 첫째, 다음 시즌 성적은 과거 3년 평균의 약 82% 수준으로 낮아지는 경향이 있다. 평균 회귀 때문이다. 둘째, RMSE 1.33이 말해주듯 개별 선수 단위의 오차는 결코 작지 않다. 따라서 이 값은 정확한 예측치가 아니라 대략적인 기준으로 활용하는 것이 적절하다.