오늘(7/22) 추신수가 사이클링 히트(hit for the cycle)를 기록했다. 투수의 노히터(no hitter) 만큼이나 달성하기 어려운 기록으로 알려져 있는데, 실제로 사이클링 히트와 노히터 중에서 확률적으로 더 발생하기 어려운 기록은 무엇일까?
먼저 투수의 노히터 발생 확률을 확인해보자. 투수는 매타석 타자에게 피안타를 허용하지 않아야 하는데, 이것이 27번 연속적으로 발생해야 한다. 수식으로 정리하면 다음과 같다.
위의 식을 이용하여 리그 평균적인 투수의 노히터 달성 확률을 계산해보자. 2015년 기준으로, 투수의 평균 피안타율(BA)은 .250이다. 따라서 한 경기에서 노히터 확률을 계산하면 ( 1 – .250 ) ^ 27 = .000423. 즉, 0.04%이다. 투수가 한 시즌에 32경기를 소화한다고 가정하면 .000423 x 32 = .0135. 즉, 평균적인 투수는 한 시즌에 0.0135번의 노히터 경기를 달성할 것으로 예상할 수 있다. 메이저리그 전체 30팀에 각 5명씩의 선발투수가 있다고 가정하면 .0135 x 30 x 5 = 2.03. 따라서 노히터는 1년에 약 2회 정도 발생할 수 있는 기록이다.
한편, 이번에는 사이클링 히트의 발생 확률을 계산해보자. 한 경기에서 1루타, 2루타, 3루타, 홈런을 모두 기록해야 하며, 이들의 발생 순서에는 관계가 없다. 따라서 각 이벤트의 발생 확률을 모두 곱하고, 이들의 순열(permutation)을 곱해주면 된다.
P ( n , r ) 은 permutation 함수를 나타내는데, n개에서 r개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수를 의미한다. P ( n , r ) = n! / ( n – r )! 로 계산 가능하다. 여기서 n은 타자가 한 경기에서 맞이하는 타석의 수(4~6)를, r은 1루타/2루타/3루타/홈런을 기록해야 하는 타석의 수, 즉 4를 의미한다.
예를 들어, 한 경기에서 5타석을 맞이하는 평균적인 타자의 사이클링 히트 달성 확률을 계산해보자. 2015년 기준으로 타석당 1루타, 2루타, 3루타, 홈런의 비율은 각각 15.4%, 4.39%, 0.487%, 2.53%이다. 여기에 이들이 조합되는 경우의 수는 P ( 5 , 4 ) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120이므로, 이 값을 곱하면 약 .0001이 된다. 즉, 한 경기에서 평균적인 타자가 사이클링 히트를 달성할 확률은 겨우 0.01%인 것이다. 이 선수가 한 시즌 150경기를 소화한다고 가정하면 .015이며, 리그 30개 팀에 각 8명씩의 타자가 있다고 하면, .015 x 30 x 8 = 3.6. 즉, 사이클링 히트는 1년에 약 3~4회 정도 발생할 수 있는 기록이다.
계산 결과, 평균적인 타자가 한 경기에서 사이클링 히트를 달성하는 확률은 약 0.01%로, 약 0.04%의 노히터보다 더 달성하기가 어렵다. 다만, 리그 전체적으로 본다면 연간 예상되는 발생 횟수는 약 2~4회로 서로 유사하다.